设计意图:提出一个商品降价问题,要求学生讨论哪一种方案降价最少.学生对问题的背景较熟悉,可能感爱好,从而达到说明学习本节知识的必要,激发学生求知欲望,合理引出新课.
(二)新课讲授
尝试探索,建立新知
(教师活动)打出字幕(重要不等式),引导学生分析、思考,讲解重要不等式的证实.点评有关问题.
(学生活动)参与研究重要不等式的证实,理解有关概念.
[字幕]假如 ,那么 (当且仅当 时取“=”号).
证实:见课本
[点评]
①强调 的充要条件是
②解释“当且仅当”是充要条件的表达方式(“当”表示条件是充分的,“仅当”表示条件是必要的).
③几何解释,如图。
[字幕]定理 假如a,b是正数,那么 (当且仅当 时取“=”号).
证实:学生运用“ ”自己证实.
[点评]
①强调;
②解释“算术平均数”和“几何平均数”的概念,并叙述它们之间的关系;
②比较上述两个不等式的特征(强调它们的限制条件);
④几何解释(见课本);
@指出定理可推广为“n个( )正数的算术平均数不小干它们的几何平均数”.
设计意图:加深对重要不等式的熟悉和理解;培养学生数形结合的思想方法和对比的数学思想,多方面思考问题的能力.
例题示范,学会应用
(教师活动)教师打出字幕(例题),引导学生分析,研究问题,点拨正确运用定理,构建证题思路.
(学生活动)与教师一道完成问题的论证.
[字幕]例题已知 a,b,c,d都是正数,求证:
[分析]
①应用定理证实;
②研究问题与定理之间的联系;
③注重应用定理的条件和应用不等式的性质.
证实:见课本.
设计意图:巩固对定理的理解,学会应用定理解决某些数学问题.
课堂练习
(教师活动)打出字幕(练习),要求学生独立思考,完成练习;巡视学生解题情况,对正确的解法给予肯定和鼓励,对偏差给予纠正;请甲、乙两学生板演;点评练习解法.
(学生活动)在笔记本上完成练习,甲、动两位同学板演.
[字幕]练习:已知 都是正数,求证:
(1) ;
(2)
设计意图:把握定理及应用,反馈课堂教学效果,调节课堂教学.
分析归纳、小结解法
(教师活动)分析归纳例题和练习的解题过程,小结应用定理解决有关数学问题的解题方法.
(学生活动)与教师一道分析归纳,小结解题方法,并记录在笔记本上.
1.重要不等式可以用来证实某些不等式.
2.应用重要不等式证实不等式时要注重不等式的结构特征:①满足定理的条件;②不等式一边为和的形式,另一边为积或常数的形式.