[设计意图]:使学生了解新内容特点和研究方法,发挥先行组织者的作用,揭示本课时的研究方法。
(二)形成倾斜角的定义
问题1:请你在平面直角坐标系中画出两条直线,说出他们的不同之处。
(1) (2)
预设的答案:
图(1)中的两条直线都经过点p , 但“倾斜程度”不同。
图(2)中的两条直线“倾斜程度”相同,但没有公共点。
辅助问题1:直线的倾斜程度是以什么为参照的?
教师引导形成统一的认识:以x轴或y轴为基准都可以,习惯上以x轴为基准。
辅助问题2:在平面直角坐标系中,如何确定一条直线的位置?
预设的答案:
(1)两点确定一条直线;
(2)一点及直线相对于x轴的“倾斜程度”。
辅助问题3:两直线相交可以形成4个角,你愿意选择哪个角来描述直线的倾斜程度呢?
教师引导形成统一的认识:用图中的∠1。这个角就叫做直线的倾斜角。
[设计意图]:从学生的已有知识经验出发,引导学生逐步接受新的研究方法。
问题2:在平面直角坐标系中,过一点的任意直线相对x轴的位置有哪些情形?请画出这些直线的倾斜角,并用你自己的语言说说倾斜角的三要素。
(1) (2) (3) (4)
[设计意图]:在学生直观感受的基础上形成倾斜角的定义。通过给各种类型的直线标注倾斜角,使学生形成对倾斜角全面的认识,在此基础上认识到分类定义的必要性和规定的合理性。
学生活动:标出各条直线的倾斜角,并用自己的语言描述倾斜角的特征。
预设的结果:
(1)标出各条直线的倾斜角(略);
(2)形成倾斜角的定义:
倾斜角的定义:在直角坐标系下,以x轴为基准,当直线与轴相交时,轴正向与直线向上方向之间所成的角,叫做直线的倾斜角。规定:当直线与轴平行或重合时,它的倾斜角为0。
问题3:根据定义,倾斜角α的取值范围是什么呢?
答案:0180。
(三)形成斜率的定义
问题4:生活中,我们都有过爬山、爬坡的体验,你还知道表示倾斜程度的量吗?请举例。
[设计意图]:利用学生的已有知识经验将几何问题代数化。
预设的回答:可以用坡角与坡度来表示。坡度的定义是:
教师引导:我们也可以用直线的倾斜角的正切来表示直线的倾斜程度即直线的斜率。
斜率的定义:倾斜角不是90的直线,其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。即。
问题5:(1)完成下面的表格1,并分析直线的倾斜角不同时,直线的斜率取值是否也不同,在此基础上总结斜率的意义。
表1
30o
45o
60o
120o
135o
150o
k=tan
(2)根据三角函数的相关知识,思考当倾斜角在[0,180)内变化时,斜率k如何变化?并填写表2。